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阿貝爾-普拉納公式

阿貝爾-普拉納公式給出了離散和與其對應積分之間差異的表示式。該公式可以從輻角原理推導得出。

∮_gammaf(z)(g^'(z))/(g(z))dz=sum_(n)f(mu_n)-sum_(m)f(nu_m),
(1)

其中 mu_n 是 g(z) 的零點，nu_m 是包含在輪廓 gamma 內的極點。 g 和 gamma 的適當選擇然後得到

sum_(n=0)^inftyf(n)-int_0^inftyf(x)dx=1/2f(0)-1/2int_0^infty[f(it)-f(-it)][cot(piit)+i]dt,
(2)

或等價地

sum_(n=0)^inftyf(n)-int_0^inftyf(x)dx=1/2f(0)+iint_0^infty(f(it)-f(-it))/(e^(2pit)-1)dt.
(3)

該公式在涉及量子化模式和自由模式之間差異的卡西米爾效應計算中特別有用。

參見

輻角原理

此條目由 David Anderson 貢獻。

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參考文獻

Mostepanenko, V. M. and Trunov, N. N. §2.2 in The Casimir Effect and Its Applications. Oxford, England: Clarendon Press, 1997.Saharian, A. A. "The Generalized Abel-Plana Formula. Applications to Bessel Functions and Casimir Effect." http://www.ictp.trieste.it/~pub_off/preprints-sources/2000/IC2000014P.pdf.

在 上被引用

阿貝爾-普拉納公式

引用為

Anderson, David. "阿貝爾-普拉納公式." 來自 Web 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/Abel-PlanaFormula.html

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