在實踐中，通常最小化的是來自直線（多項式、曲面、超平面等）的垂直偏移，而不是垂直偏移。 這為自變數 
提供了一個擬合函式，用於估計給定 
的 
（通常是實驗者想要的），允許簡單地納入資料點沿 
軸和 
軸的不確定性，並且還為擬合引數提供了比基於垂直偏移的擬合獲得的更簡單的解析形式。
對於一組 
個點，使用點 
的未平方垂直距離 
的最佳擬合線的殘差由下式給出
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(1)
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由於從直線 
到點 
的垂直距離由下式給出
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(2)
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要最小化的函式是
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(3)
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不幸的是，由於絕對值函式不具有連續導數，因此最小化 
不利於解析解。 然而，如果垂直距離的平方
![R__|_^2=sum_(i=1)^n([y_i-(a+bx_i)]^2)/(1+b^2)](/images/equations/LeastSquaresFittingPerpendicularOffsets/NumberedEquation4.svg) |
(4)
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被最小化，則問題可以以閉合形式解決。 當滿足以下條件時，
達到最小值
=0](/images/equations/LeastSquaresFittingPerpendicularOffsets/NumberedEquation5.svg) |
(5)
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和
+sum_(i=1)^n([y_i-(a+bx_i)]^2(-1)(2b))/((1+b^2)^2)=0.](/images/equations/LeastSquaresFittingPerpendicularOffsets/NumberedEquation6.svg) |
(6)
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前者給出
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(7)
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(8)
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後者給出
![(1+b^2)sum_(i=1)^n[y_i-(a+bx_i)]x_i+bsum_(i=1)^n[y_i-(a+bx_i)]^2=0.](/images/equations/LeastSquaresFittingPerpendicularOffsets/NumberedEquation7.svg) |
(9)
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但是
![[y-(a+bx)]^2](/images/equations/LeastSquaresFittingPerpendicularOffsets/Inline19.svg) |  |  |
(10)
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(11)
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所以 (10) 變為
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(12)
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![[(1+b^2)(-b)+b(b^2)]sum_(i=1)^(n)x_i^2+[(1+b^2)-2b^2]sum_(i=1)^(n)x_iy_i+bsum_(i=1)^(n)y_i^2+[-a(1+b^2)+2ab^2]sum_(i=1)^(n)x_i-2absum_(i=1)^(n)y_i+ba^2sum_(i=1)^(n)1=0](/images/equations/LeastSquaresFittingPerpendicularOffsets/Inline26.svg) |
(13)
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(14)
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將 (◇) 代入 (14) 然後給出
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(15)
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經過相當多的代數運算後，結果是
![b^2+(sum_(i=1)^(n)y_i^2-sum_(i=1)^(n)x_i^2+1/n[(sum_(i=1)^(n)x_i)^2-(sum_(i=1)^(n)y_i)^2])/(1/nsum_(i=1)^(n)x_isum_(i=1)^(n)y_i-sum_(i=1)^(n)x_iy_i)b-1=0.](/images/equations/LeastSquaresFittingPerpendicularOffsets/NumberedEquation9.svg) |
(16)
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所以定義
 |  | ![1/2([sum_(i=1)^ny_i^2-1/n(sum_(i=1)^ny_i)^2]-[sum_(i=1)^nx_i^2-1/n(sum_(i=1)^nx_i)^2])/(1/nsum_(i=1)^nx_isum_(i=1)^ny_i-sum_(i=1)^nx_iy_i)](/images/equations/LeastSquaresFittingPerpendicularOffsets/Inline30.svg) |
(17)
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(18)
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二次公式給出
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(19)
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其中 
使用 (◇) 找到。 請注意公式中最佳擬合引數的相當笨拙的形式。 此外，對於二階或更高階多項式最小化 
會導致具有更高階的多項式方程，因此這種公式無法擴充套件。
Sardelis, D. 和 Valahas, T. "最小二乘擬合-垂直偏移。"