Borel正則化求和

數學家在研究超幾何函式 的收斂情況 () 方面取得了巨大的成功，這促使人們嘗試為 的發散情況下的此類函式提供解釋。Emile Borel 在 1899 年提出了一個有趣的解釋這些發散級數求和的方法。根據定義，任意級數的廣義 Borel 求和

(1)

是積分的值

(2)

其中 。

這個定義允許將發散超幾何級數的求和解釋為廣義 Borel 求和，其中這些 Borel 求和總是與其他收斂的超幾何級數一致。

考慮一個與函式 的漸近公式相關的例子，從關係式開始

(3)

上述公式的右側可以解釋為經典發散級數 的 Borel 求和（其中 ）。選擇 使得

(4)

那麼

(5)

因此，發散級數 的 Borel 正則化求和 等於

			(6)
			(7)

然而，Borel 的發散級數求和方法對於超幾何級數沒有進行深入研究；對於超幾何級數，最有效的結果是在之後使用 Mellin-Barnes 積分 找到的。